Distribuția eforturilor unitare în jurul găurilor de sondă

Cuprins

Acest articol e numărul 7 din totalul de 12 articole ale seriei Stabilitatea rocilor

Stabilitatea formațiunilor geologice traversate de sonde

Înainte de a trece la aspecte practice, încă un efort la nivel teoretic, cu ceva formule…

Se va discuta distribuția eforturilor unitare în cazul mediilor coezive elasto-plastice, într-o abordare mai puțin laborioasă. În plus, se poate demonstra că relațiile obținute pentru medii coezive elasto-plastice prezintă cel mai mare grad de generalizare, prin particularizarea lor putându-se obține relații pentru mediile coezive, cu un pronunțat caracter plastic.

Cauza apariției zonei de stare limită în jurul găurilor de sonde este consecința concentrării eforturilor unitare în jurul acesteia. Prin deschiderea unui masiv cu o gaură de sondă, în locul rocii forate, având o greutate specifică $\gamma_r$ , este introdus fluid de foraj cu greutatea specifică $\gamma_n < \gamma_r$ , ceea ce va face ca în jurul găurii sondei să apară o concentrare de eforturi. Facem presupunerea că intensitatea concentrării eforturilor unitare este suficient de mare pentru a provoca în pereții găurii sondei o deformare permanentă, cu tendința de creștere în timp, care poate fi de natura unei curgeri la rocile coezive cu pronunțat caracter plastic, sau de natura unei ruperi în cazul rocilor elasto-plastice.

Corpuri coezive elasto-plastice

Dacă raportul dintre efortul unitar principal maxim și cel minim, dintr-un punct al masivului, depășește valoarea $\dfrac{2c\sqrt{\lambda}}{\sigma_{L3}}+\lambda$ , în material e depășită starea elastică ceea ce va avea ca efect apariția transformărilor ireversibile. Pentru determinarea direcției eforturilor unitare principale dintr-un punct din jurul găurii de sondă, se poate face următorul

raționament:

Admițând apriori că pe direcția verticalei componenta deformației $\epsilon_z$ e neglijabilă, ipoteză suficient de exactă în cazul găurilor de lungime foarte mare (practic infinită din punct de vedere al calculelor noastre), se poate scrie $\epsilon_z = 0$ . Dacă $\dfrac{\sigma_1}{\sigma_3}$ e mai mare decât $\dfrac{2c\sqrt{\lambda}}{\sigma_{L3}}+\lambda$ , rezultă că în jurul găurii de sondă în care e îndeplinită această condiție va începe o deplasare a materialului pe direcția razei, echivalând cu o destindere, fără ca particulele ce se aflau la un moment dat pe circumferința aceluiași cercsă se poată deplasa relativ unele față de altele. Particulele ce se aflau anterior pe un cerc de rază mai mare, se vor afla acum pe un cerc cu rază mai mică, ceea ce presupune o comprimare pe direcția tangentei. Pe baza acestor considerații din care rezultă că pe cele trei direcții (a razei, a tangentei și a verticalei) nu există alunecări ale particulelor unele față de altele, rezultă concluzia că aceste trei direcții sunt principalele direcții de deformare, în condițiile în care componentele deformației de alunecare sunt nule.

În continuare, folosind una din ipotezele de bază ale teoriei plasticității, conform căreia tensorul director al deformațiilor corespunde cu tensorul director al eforturilor unitare, sau altfel spus, că direcțiile componentelor principale ale deformațiilor corespund cu direcțiile principale ale eforturilor unitare, putem afirma că eforturile unitare principale vor trebui să se exercite pe cele trei direcții: a razei, a tangentei și a verticalei. Ținând seama că toate cele trei eforturi unitare sunt de compresiune, iar prin convenția de semn al acestui context sunt pozitive, rezultă că efortul unitar principal maxim se va exercita pe direcția tangentei, unde apare o creștere a comprimării materialului; efortul unitar pe direcția razei va fi efortul unitar principal minim $\sigma_3$ , deoarece pe această direcție apare o destindere a materialului, iar efortul unitar intermediar, $\sigma_2$ va fi cel de pe direcția verticalei, pentru că $\epsilon_z=0$ .

Deci, când $\dfrac{\sigma_1}{\sigma_3} > \dfrac{2c\sqrt{\lambda}}{\sigma{L3}}+\lambda$ , începe fenomenul deplasării materialului din zona din jurul găurii sondei în care e îndeplinită această condiție. Această deplasare se va manifesta prin pătrunderea unei cantități oarecare de material în interiorul găurii sondei, această pătrundere încetând odată cu (re)apariția stării limită în toate punctele zonei, stare caracterizată de egalitatea $\dfrac{\sigma_1}{\sigma_3}=\dfrac{2c\sqrt{\lambda}}{\sigma_{L3}}+\lambda$ (numită și condiția de echilibru), sau mai concret, până ce compresiunea asigurată de fluidul de foraj din gaură va fi suficientă pentru apariția condițiilor de echilibru limită în toate punctele zonei de cedare.

Pentru a preciza mai bine natura acestei stări limită, trebuie precizat că materialul din jurul găurii sondei aflat într-o astfel de stare a depășit starea elastică, în el apărând anumite deformații plastice nepericuloase. Astfel, se produce o transferare a concentrării eforturilor unitare dinspre gaură spre interiorul masivului, în toată zona adiacentă, numită uneori și zonă de cedare. Altfel spus, materialul aflat într-o astfel de stare s-a adaptat, în timp, stării de eforturi.

Totuși, trebuie arătat că în afara acestui aspect static, mai apare și unul dinamic, reologic. Referitor la aspectul static, se poate spune că starea de echilibru natural apare doar când în fiecare punct al zonei de cedare este îndeplinită condiția de echilibru.

Presupunem un masiv în care s-a executat o gaură de sondă în jurul căreia a luat naștere zona de cedare, care, după relaxarea eforturilor unitare, devine zona de stare limită, în care roca se află într-un echilibru labil, condiționat de valoarea P_ra, contrapresiunea din gaură, atunci când asupra volumului elementar cu înălțimea egală cu unitatea acționează forțele ambientale.

Să scriem ecuația de echilibru pe direcția razei (deoarece pe direcția tangentei și verticalei forțele se anulează):

$\dfrac{\partial \sigma_r}{\partial r} + \dfrac{\sigma_r + \sigma_\theta}{r} = 0$

Efortul unitar principal maxim este $\sigma_{\theta}$ , iar cel minim $\sigma_r$ , iar condiția de existență a stării limită devine:

$\sigma_{\theta} = 2c \sqrt{\lambda} + \sigma_r \lambda$

Înlocuind $\sigma_{\theta}$ în relația anterioară, rezultă:

$\dfrac{\partial \sigma_r}{\partial r} + \dfrac{(1 - \lambda) \sigma_r}{r} - \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{r} = 0$

Prin integrare:

$\sigma_r = {D_r}^{(\lambda - 1)} - \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1}$

Aplicând condițiile la limită, respectiv r = a, $\sigma_r=P_{ra}$ , se determină constanta de integrare, pe care înlocuind-o în expresia lui $\sigma_r$ , se obține:

$\sigma_r = \bigg ( P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1} \bigg ) \bigg ( \dfrac {r}{a} \bigg ) ^{\lambda - 1} - \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1}$

Ținând cont de expresia lui $\sigma_{\theta}$ de mai sus, acesta devine:

$\sigma_{\theta} = \lambda \bigg ( P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1} \bigg ) \bigg ( \dfrac {r}{a} \bigg ) ^{\lambda - 1} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1}$

Pentru determinarea distribuției eforturilor unitare în exteriorul zonei de stare limită, se poate face o analogie formală între un tub cu pereți groși și un tub imaginar format în jurul găurii de sondă prin izolarea rocii din această porțiune cu un cilindru concentric cu gaura, și care are o rază foarte mare. Dacă raza $r_{\infty}$ este mult mai mare decât raza sondei (a), conform principiului efortului unitar local, eforturile unitare de pe circumferința de rază r se vor deosebi prea puțin de cazul în care masivul nu era afectat prin deschiderea cu o sondă. Aceste considerente justifică acceptarea analogiei formale propuse. Și se pot folosi relațiile lui Lamé:

$\sigma_r = \dfrac{p_1 {r_1}^2 - p_2 {r_2}^2}{{r_2}^2 - {r_1}^2} - \dfrac {(p_1 - p_2) {r_1}^2 {r_2}^2} {r^2({r_2}^2 - {r_1}^2)}$

și

$\sigma_\theta = \dfrac{p_1 {r_1}^2 - p_2 {r_2}^2}{{r_2}^2 - {r_1}^2} + \dfrac {(p_1 - p_2) {r_1}^2 {r_2}^2} {r^2({r_2}^2 - {r_1}^2)}$ ,

unde:

$p_1$ – presiunea interioară, în cazul nostru, presiunea pe conturul de cedare: $p_1 = p_b$
$p_2$ – presiunea exterioară, în cazul nostru, presiunea la o rază suficient de mare încât concentrarea de eforturi pe conturul zonei de cedare să nu se mai simtă: $p_2 = \dfrac{p}{m-1}$
$r_1$ – raza interioară: $r_1 = b$
$r_2$ – raza exterioară: $r_2=\infty$
$r$ – raza curentă

Înlocuirile necesare și trecerea la limită pentru $r_2 = \infty$ , conduc la

$\sigma_r = \dfrac{P}{m-1} + \bigg ( p_b - \dfrac {P} {m-1} \bigg ) \bigg ( \dfrac{b} {r} \bigg )^2$

și

$\sigma_\theta = \dfrac{P}{m-1} - \bigg ( p_b - \dfrac {P} {m-1} \bigg ) \bigg ( \dfrac{b} {r} \bigg )^2$

Pentru determinarea lui $p_b$ , se pune condiția ca la $r=b$ , $\sigma_{rL}=\sigma_{rl}$ și atunci

$p_b = -\dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda - 1} + \bigg ( P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt {\lambda}}{\lambda - 1} \bigg ) {\bigg ( \dfrac{b}{a} \bigg )}^{\lambda-1}$

Înlocuind $p_b$ în relațiile anterioare, obținem:

$\sigma_r = \dfrac{P}{m-1} + \Bigg( \bigg( P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1} \bigg) \bigg( {\dfrac{b}{a}} \bigg) ^{\lambda-1} - \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1} - \dfrac{P}{m-1}\Bigg) \bigg( \dfrac{b}{r} \bigg)^2$

și

$\sigma_r = \dfrac{P}{m-1} - \Bigg( \bigg( P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1} \bigg) \bigg( {\dfrac{b}{a}} \bigg) ^{\lambda-1} - \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1} - \dfrac{P}{m-1}\Bigg) \bigg( \dfrac{b}{r} \bigg)^2$

Pentru obținerea razei de cedare, se va ține seama că $\sigma_{rc}$ și $\sigma_{\theta c}$ sunt egale cu $\sigma_{re}$ și respectiv $\sigma_{\theta e}$ , la r = b și m = k, adică:

$r=b \implies \sigma_{re} = \sigma_{rc}; \sigma_{\theta e} = \sigma_{\theta c}$

și

$r=b \implies m-k$

Egalitatea eforturilor unitare pe direcția razei reiese din condiția de continuitate. Fenner și Terzaghi au introdus condiția egalității eforturilor unitare normale pe direcția tangentei. Pentru demonstrarea valabilității acestei condiții se poate face astfel: se adoptă teoria lui Mohr care presupune că starea de tensiuni este caracterizată de efortul unitar principal maxim și de efortul unitar principal minim, $\sigma_3$ . În plus, $\sigma_{re} = \sigma{rc}$ , la r=b. Într-un punct de pe frontiera dintre starea de deformare elastică și starea limită, se va produce o trecere de la alura liniară a înfășurătoarei cercurilor lui Mohr, la una neliniară. Starea de tensiuni în punctul respectiv de frontieră va fi caracterizată de cercul cu extremitățile $\sigma_{L3}=\sigma_{rc}=\sigma_{re}$ și $\sigma_{L1}=\sigma_{\theta e}=\sigma_{\theta c}$ . Acest cerc este tangent la înfășurătoare chiar în punctul în care se produce schimbarea caracterului liniar al acesteia.

Din relațiile anterioare, rezultă:

$\sigma_{re}+\sigma_{\theta e}=\dfrac{2P}{k-1}$

și

$\sigma_{rc} + \sigma_{\theta c}=\bigg(P_{ra} + \dfrac{2c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1} \bigg) \bigg( \dfrac{b}{a} \bigg)^{\lambda-1} (\lambda-1)-\dfrac{4c \sqrt{\lambda}}{\lambda-1}$

Înlocuind pe k în suma $\sigma_{re}+\sigma_{\theta e}$ cu expresia sa, se poate obține raza zonei de cedare:

$b=a \bigg( \dfrac{2[P \sigma_{L3} (\lambda-1)+2c\sqrt{\lambda}(2c \sqrt{\lambda}+\sigma_{L3} \lambda)]}{(\lambda+1)(2c \sqrt{\lambda}+\sigma_{L3} \lambda)[P_{ra}(\lambda-1)+2c \sqrt{\lambda}]} \bigg)^{1/(\lambda-1)}$

Astfel, se obține o relație diferită de cea a lui Terzaghi, tocmai pentru că s-a considerat m=k și nu m=2.

Corpuri necoezive

Dacă în relațiile lui $\sigma_r$ și $\sigma_\theta$ se pune condiția c=0 și se ține seama că, în acest caz, expresia lui k devine identică cu cea a coeficientului propus de Fenner pentru roci necoezive:

$k=\lambda+1$ ; $c=0$ ; $\sigma_r=P_{ra} \bigg( {\dfrac{r}{a}}^{k-2}\bigg)$

iar

$\sigma_\theta=(k-1)P_{ra} \bigg( {\dfrac{r}{a}}\bigg)^{k-2}$

Și pentru că suntem aici, iată și o carte de mecanică a rocilor:

Dă clic pentru a accesa rock-mechanics_for-underground-mining.pdf

Corpuri coezive cu pronunțat caracter plastic

În cazul acestora, $\lambda$ tinde către 1. Trecând la limită expresiile lui $\sigma_r$ și $\sigma_\theta$ , când $\lambda \to 1$ rezultă:

$\sigma_r=P_{ra}+2c \times ln \dfrac{r}{a}$

și

$\sigma_\theta=P_{ra}+2c \times ln \dfrac{r}{a}$

Faptul că din relațiile stabilite pentru corpuri coezive și elasto-plastice s-au putut deduce relații pentru corpuri necoezive și pentru corpuri coezive și plastice arată că introducerea coeficientului k e perfect justificată, ea dând posibilitatea unei generalizări a calcului pentru determinarea eforturilor unitare în cazul rocilor intrate în stare limită.

Notă:

Ar mai fi de prezentat și distribuția eforturilor unitare în zona de stare limită determinată pe baza criteriului energiei de variație a formei în cazul corpurilor cu un pronunțat caracter plastic, dar ne oprim aici, urmând ca în viitorul articol să trecem a aspecte mai… practice.

Deplasare prin serie<< Echilibrul natural al unui masiv neatacatStabilitatea găurilor de sondă. Aspecte practice >>

L	Ma	Mi	J	V	S	D
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30

Distribuția eforturilor unitare în jurul găurilor de sondă

Corpuri coezive elasto-plastice

Corpuri necoezive

Corpuri coezive cu pronunțat caracter plastic

Similare

Distribuiți, vă rog:

Lasă un comentariuAnulează răspunsul

Cursuri recente

Gândirea critică: o necesitate, oriunde, oricând!

GraMate(ro)u – ed. I