Hits: 105

Există diverse astfel de teorii (a se vedea Teorii de rezistență). Dintre ele, două au primit o mai bună verificare practică:

• Teoria energiei de variație a formei
• Teoria lui Mohr

Teoria energiei de variație a formei

În cadrul acestei teorii, ca și criteriu de apariție a stării limită se ia în acest caz cantitatea de energie potențială specifică de variație a formei, acumulată de respectivul material:

       (1)

Considerând starea de tensiune echivalentă o stare de tensiune monoaxială și substituind pe și , se obține:

       (2)

Comparând cele două ecuații de mai sus, rezultă că intensitatea stării de tensiune, în cazul utilizării criteriului energiei de variație a formei este:

       (3)

Pe baza celor trei relații de mai sus se poate afirma: acest criteriu dă aceleași condiții de apariție a stării limită, atât în cazul întinderii triaxiale, cât și în cazul compresiunii triaxiale, pentru că sub radical, gradul termenilor este doi, neținându-se astfel seama de semn. De aceea, pentru materialele cu comportare diferită la întindere și compresiune, mai ales pentru roci, teoria energiei de variație a formei nu este valabilă. În anumite condiții (compresiune triaxială relativ mare), această teorie poate fi aplicată și pentru anumite roci (sare gemă, argile cu grad mare de umiditate).

Teoria lui Mohr

O teorie a rezistenței materialelor poate fi găsită aici: „Strength of Materials”.

Teoria lui Mohr se bazează pe ipoteza că tensiunea principală intermediară, , nu are o influență semnificativă asupra atingerii limitei de curgere sau de rezistență a materialului. De aceea, rezultă că intensitatea stării de tensiune poate fi caracterizată doar de mărimea tensiunilor principale maximă, , și minimă, .

Reținem:

Determinând valorile și , pentru diverse stări de întindere sau compresiune triaxială ce produc curgerea sau ruperea materialului, se poate trasa, într-un sistem de coordonate , , cercurile cu centrul pe axa , de coordonate: , și cu raza . Înfășurătoarea familiei de cercuri ce se obțin în acest fel, prin determinări experimentale ale eforturilor unitare principale, respectiv maxim și minim , la diverse stări de tensiune triaxială, reprezintă o curbă ce se numește curba intrinsecă a materialului.

Un calculator online al transformărilor de stres pe baza cercului lui Mohr poate fi găsit aici: Stress Transformations & Mohr’s Circle. E o aplicație online ce ne permite „joaca” cu cercul lui Mohr!

Remarci cu privire la teoria lui Mohr:

1. dacă pentru diverse stări de tensiune triaxială se determină tensiunile principale și , se va obține o curbă caracteristică pentru starea limită de curgere a materialului; dacă, dimpotrivă, se determină și se va obține o curbă caracteristică pentru starea de rupere a materialului;
2. având în vedere posibilitatea obținerii celor două curbe intrinseci (de pa punctul a.), rezultă că teoria lui Mohr e valabilă atât până la atingerea curgerii materialului, cât și în domeniul cuprins între începutul curgerii și cedarea prin rupere a acestuia;
3. prin felul în care se trasează curba intrinsecă, ea acoperă atât domeniul compresiunii triaxiale, cât și pe cel al tracțiunilor triaxiale, deci teoria poate fi folosită și pentru materiale cu comportare diferită la tracțiune și compresiune.

În cazul rocilor, există tendința să se renunțe la criteriul de echivalență dintre intensitatea stării de tensiuni și tensiunea limită la încercarea de compresiune monoaxială. Procedând astfel, e necesar ca pentru fiecare rocă în parte să se traseze curba intrinsecă, până la valorile corespunzătoare  și pe care le așteptăm să apară în diversele cazuri practice la solicitările triaxiale.

Teoria lui Mohr aplicată la roci

Comportarea macroscopică

Pentru majoritatea rocilor, se obțin curbe intrinseci cu caracter neliniar, singurele roci pentru care înfășurătoarea cercurilor (care reprezintă starea limită) este o linie dreaptă, fiind cele necoezive (mai ales nisipurile).

Cu tot aspectul lor neliniar, pentru a obține relații analitice simple, se procedează la o schematizare a întregii curbe, asimilând-o unei linii drepte, a cărei ecuație este:

,      (4)

care reprezintă criteriul clasic al lui Coulomb pentru cedarea pământurilor. Din păcate, această abordare conduce la erori destul de mari. De aceea, o abordare mai corectă ar fi aceea a asimilării cu linii drepte ale diverselor intervale ale curbei intrinseci. Dacă intervalul tinde, la limită, către zero, dreapta cu care va fi asimilat intervalul va tinde să devină tangentă la curbă, sau altfel spus, va conduce la erori minime. A se vedea și documentul următor:

Pentru aplicații practice, în general, e mai comodă renunțarea la metodele analitice de determinare a tangentei, recurgându-se la construcții grafice. Niște oameni (Baron, Hahib și Molier) au determinat curbele limită de rupere pentru nisipul de Sena, calcar și respectiv sarea gemă. Astfel, pentru nisipuri, s-a constatat o creștere liniară și nelimitată a valorilor corespunzătoare pentru și , odată cu mărirea stării de compresiune triaxială. În cazul sării geme și a argilelor cu umiditate mare, acestea nu prezintă un palier orizontal al curbei intrinseci, chiar și la valori scăzute ale compresiunii triaxiale. Pentru majoritatea rocilor, există un comportament intermediar, în sensul în care se poate presupune că la valori mari ale mărimii stării de compresiune triaxială curba intrinsecă tinde să se aplatizeze și să devină astfel paralelă cu axa .

Mențiune:

Practic, generalizând se poate afirma că, funcție de caracteristicile ei, orice rocă, la stări de compresiune triaxială suficient de mari, va prezenta o curbă intrinsecă cu tendința de a deveni paralelă cu axa .

Schimbări structurale ale rocilor supuse la compresiune triaxială (ipoteze)

Un caz limită referitor la comportarea la compresiune triaxială îl reprezintă rocile necoezive (nisipurile). Acestea sunt alcătuite din grăunți independenți între care apar forțe de frecare de natură mecanică, specifice contactului dintre corpurile macroscopice.

Caracterul liniar al curbelor intrinseci ale nisipurilor se explică pornind de la constatarea că forțele de frecare mecanică dintre grăunții de nisip sunt mai mici decât forțele de coeziune ale grăunților. Având în vedere caracterul liniar al curbei intrinseci a nisipurilor, se poate scrie relația:

       (5)

Sensul fizic al acestei relații este acela că la atingerea valorilor limită și pentru o stare de compresiune triaxială, grăunții nisipurilor vor începe să se deplaseze unii față de ceilalți, alunecând pe planele de contact a căror normală face un unghi de cu direcția efortului unitar principal maxim, . Pentru producerea acestei deplasări, trebuie ca în toate punctele de contact din planele paralele cu planul P ale acestor grăunți să fie depășită o valoare limită a forțelor de frecare.

Trecând la mărimi infinit mici, conform teoriei lui Mohr, alunecările ce apar pe planele paralele cu P sunt legate de depășirea unei anumite valori limită a efortului unitar tangențial, , pe aceste plane. La rându-i, mărimea lui este legată de valorile eforturilor unitare principale și . Eforturile unitare se definesc ca limita raportului dintre forță și suprafață, când aceasta din urmă tinde la zero. Având în vedere continuitatea presupusă prin ipoteze de bază a teoriei elasticității și plasticității, rezultă concluzia  că în toate punctele unui astfel de corp și prin toate planele ce trec prin aceste puncte vor apare eforturi unitare atunci când pe suprafața corpului acționează forțe distribuite după o lege oarecare. Dar, nisipurile sunt departe de a fi corpuri continue. Deci, presupunerea că punctul în care vrem să determinăm eforturile unitare se află plasat într-un „gol“ dintre grăunții nisipului duce la concluzia că într-un astfel de punct eforturile unitare sunt nule. Dimpotrivă, într-un punct din interiorul unui grăunte de nisip sau aflat la contactul dintre grăunți, vor exista eforturi unitare.

Apare astfel întrebarea dacă la stări de compresiune triaxială mari, curba intrinsecă a nisipurilor rămâne liniară sau începe să se curbeze? Ipotetic, am putea gândi că va apare o abatere de la liniaritate, pentru că: presupunând că izolăm din masa nisipului un grăunte și că înlocuim contactele dintre el și ceilalți grăunți cu forțe de legătură, pe măsură ce crește, proporțional va crește și , care, ca și , reprezintă niște valori medii; deci, se poate presupune că cu cât vor crește aceste valori medii, cu atât vor crește și forțele de legătură cu care am înlocuit contactele dintre grăunții de nisip; s-ar putea astfel ca, la un moment dat, forțele ce solicită grăunțele să depășească coeziunea acestuia înainte să apară alunecare acestui grăunte față de ceilalți.

Acest lucru ar fi posibil prin depășirea coeziunii înaintea depășirii forțelor de frecare interioară. Deci, această posibilitate se poate ivi pentru foarte mari, chiar la valori ale lui